TUGAS MANDIRI 6 ~MATEMATIKQ DISKRIT KAMPUS MILENIAL ITBI

 Nama: Geovanni Maruli Tua 

Kelas: Sore 

Jurusan: Sistem informasi 

A)Algoritma adalah urutan langkah logis yang digunakan untuk menyelesaikan suatu masalah. Singkatnya, sebuah masalah harus diselesaikan dengan beberapa langkah yang logis. Dalam kehidupan sehari-hari, contoh algoritma bisa digambarkan dengan berbagai macam hal. Salah satu contohnya adalah aktivitas memasak air. Algoritmanya tentu saja berhubungan dengan aktivitas dalam memasak air.

B)Program adalah kumpulan pernyataan komputer, sedangkan metode dan tahapan sistematis dalam program adalah algoritma. Program ditulis dengan menggunakan bahasa pemrograman. Jadi bisa disebut bahwa program adalah suatu implementasi dari bahasa pemrograman. Beberapa pakar memberi formula bahwa :

Program = Algoritma + Bahasa (Struktur Data)

Bagaimanapun juga struktur data dan algoritma berhubungan sangat erat pada sebuah program. Algoritma yang baik tanpa pemilihan struktur data yang tepat akan membuat program menjadi kurang baik, demikian juga sebaliknya

C)Perbedaan logika dan algoritma adalah jika logika dalam konteks komputer lebih mengarah pada bagaimana pola berpikir yang rasional, tepat dan logis dalam memecahkan suatu masalah, sedangkan algoritma cenderung pada prosedur menyelesaikan suatu masalah yang runtut dan logis dan umumnya digambarkan seperti pola pada flowchart dan pseudocode.

Pembahasan

Logika dalam komputer merupakan awal untuk mempelajari lebih dalam bahasa pemrograman dan sektor lain yang membutuhkan logika salah satunya sistem digital yang memerlukan pemahaman tentang gerbang logika.  

Macam – macam logika :

• Logika Aritmarik, logika ini biasa muncul dalam soal – soal psikotes matematika

• Logika Boolean, logika ini berupa nilai true / false dalam operasi and, or, xor, not

• Logika Perbadingan, logika ini juga bernilai true / false dengan operasi <,>,<=,>=, =, <>

Algoritma cenderung ke arah prosedur yang logis dan runtut didalamnya. Beberapa macam algoritma yang cukup dikenal dalam computer adalah algoritma pseudocode dan flowchart

Algoritma pseudocode mirip dengan penulisan dalam pemrograman akan tetapi pseudocode lebih mudah dimengerti karena bahasanya lebih sederhana. Umumnya strukturnya adalah

• Judul Algoritma

• Deklarasi variable dan/atau konstanta

• Perintah

Sedangkan algoritma flowchart menggunakan diagram yang dapat bercabang untuk menjelaskan langkah – langkah penyelesaian. Contoh yang sering diggunakan untuk pembelajaran adalah flowchart dalam mencari luas dan keliling segitiga.

D)Flowchart adalah adalah suatu bagan dengan simbol-simbol tertentu yang menggambarkan urutan proses secara mendetail dan hubungan antara suatu proses (instruksi) dengan proses lainnya dalam suatu program.

E)3 contoh soal induksi matematika

Sebagai contoh 1:

Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk masing-masing n bilangan asli.

Jawab:

P(n) :  2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

Akan dibuktikan dengan P(n) benar untuk masing-masing n ∈ N

Langkah awal:

Menunjukan P(1) benar

2 = 1(1 + 1)

Sehingga diperoleh, P(1) benar

Langkah induksi:

Ibaratkan P(k) benar yakni:

2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1),    k ∈ N

Akan menunjukanP(k + 1) juga benar, yakni:

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dari asumsi di atas maka:

2 + 4 + 6 + … + 2k = k(k + 1)

Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)

2 + 4 + 6 + … + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Sehinga, P(k + 1) benar

Berdasarkan dari prinsip induksi matematika tersebut, terbukti bahwa P(n) benar untuk masing-masing n bilangan asli.

Sebagai contoh 2:

Buktikan 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2 itu benar, untuk masing-masing n bilangan asli.

Jawab:

P(n) :  1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n2

Maka akan menunjukan P(n) benar untuk masing-masing n ∈ N

Langkah awal:

Akan menunjukan P(1) benar

1 = 12

Sehingga, P(1) benar

Langkah induksi:

Ibaratkan bahwa P(k) benar, yakni:

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2,    k ∈ N

Akan menunjukan P(k + 1) juga benar, yakni:

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2

Dari asumsi di atas maka:

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) = k2

Tambahkan kedua ruas dengan uk+1 :

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + (2(k + 1) − 1)

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k2 + 2k + 1

1 + 3 + 5 + … + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)2

Sehingga, P(k + 1) juga benar

Berdasarkan dari prinsip induksi matematika tersebut, terbukti bahwa P(n) benar untuk masing-masing n bilangan asli.

Pembuktian Keterbagian

Pernyataan “a habis dibagi b” yang bersinonim dengan:

a kelipatan b

b faktor dari a

b membagi a

Apabila p habis dibagi a serta q habis dibagi a, sehingga (p + q) juga akan habis dibagi a.

Misalnya, 4 habis dibagi 2 dan 6 habis dibagi 2, maka (4 + 6) juga akan habis dibagi 2

Contoh 3:

Buktikan 6n + 4 habis dibagi 5, untuk masing-masing n bilangan asli.

Jawab:

P(n) :  6n + 4 habis dibagi 5

Akan dibuktikan dengan P(n) benar pada masing-masing n ∈ N.

Langkah awal:

Akan menunjukan P(1) benar

61 + 4 = 10 habis dibagi 5

Sehingga, P(1) benar

Langkah induksi:

Ibaratkan bahwa P(k) benar, yakni:

6k + 4 habis dibagi 5,    k ∈ N

Akan menunjukan P(k + 1) juga benar, yakni:

6k+1 + 4 habis dibagi 5.

6k+1 + 4 = 6(6k)+ 4

6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4

Sebab 5(6k) habis dibagi 5 dan 6k + 4 habis dibagi 5, maka 5(6k) + 6k + 4 juga akan habis dibagi 5.

Sehingga, P(k + 1) benar.

Berdasarkan dari prinsip induksi matematika tersebut, terbukti bahwa 6n + 4 habis dibagi 5, untuk masing-masing n bilangan asli.

Bilangan bulat a akan habis dibagi bilangan bulat b apabila dijumpai bilangan bulat m sehingga akan berlaku a = bm.

Misalnya, “10 habis dibagi 5” benar sebab adanya bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2.

Maka dari itu, pernyataan “10 habis dibagi 5” bisa kita tuliskan menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”

Berdasarkan dari konsep di atas, pembuktian keterbagian bisa juga diselesaikan dengan menggunakan cara seperti berikut ini.